实变函数论(8/12):测度论中的不定积分以及有界变差函数的基本理论

接下来是第二章:

最后是第三章:

在微积分课程中, 我们知道如果一个函数f(x)在区间[a,b]上是Riemann可积的, 则可以定义变上限积分

F(x):=\int_{a}^xf(u)\mathrm{d} u. \\

它满足:

(1) F(x)在[a,b]上连续. 也就是说, 对于任意的x\in[a,b]以及\varepsilon\gt 0, 存在\delta\gt 0使得|x-y|\lt\delta的时候|F(x)-F(y)|\lt\varepsilon(这里端点处的连续性我们就不管了).

(2) F(x)可微并且F'(x)=f(x). 不仅如此, 如果存在另一个函数\tilde F(x)也满足\tilde F'(x)=f(x), 则\tilde F'(x)=F(x)+C, 其中C是某个常数.

(3) F(x)在[a,b]上一致连续. 也就是说, 对于任意的\varepsilon\gt 0, 存在\delta\gt 0使得|x_1-x_2|\lt\delta时|F(x_1)-F(x_2)|\lt\varepsilon.

我们通常将\{F(x)+C\}称作f的不定积分, 并将这个变限积分F(x)视作不定积分的代表元, 此处常数C依赖于我们所选定的区间[a,x]. 于是我们看到f的不定积分可以视作是一个集合函数(区间[a,x]的函数), 并且当集合固定的时候我们得到的就是一个确定的积分.

于是乎, 对于一般测度空间上的积分, 与Riemann积分中的不定积分相对应的自然构造就是我们之前定义的\mu_f, 其中

\mu_f(E):=\int_E f\mathrm{d}\mu. \\

和之前一样, 我们在一个一般的测度空间(X,\mathfrak{a},\mu)中工作, 并且在这一部分我们也坚持这一约定. 考虑到上述论述, 我们就将\mu_f称作f关于测度\mu的不定积分, 其中f为一可积函数. 这一推广是合理的, 因为在Riemann积分中, 不定积分\int f(x)\mathrm{d} x本身不给出任何值, 但是一旦我们设定了积分区间, 不定积分就变成一个确定的定积分\int_a^bf(x)\mathrm{d} x了, 于是我们可以认为不定积分就是一个映射:

\int f(x)\mathrm{d} x: [a,b]\mapsto \int_a^bf(x)\mathrm{d} x \\

将[a,b]改为E就得到了前面的推广形式.

我们自然是希望这里推广得到的不定积分也具有Riemann积分中不定积分所满足的若干性质, 比如说前面提到的连续性. 考虑到“连续性”这个词意思是说当自变量非常靠近的时候其对应的函数值也很靠近, 关于测度的不定积分是一个集合函数, 其自变量为集合, 而我们又是在测度空间上考虑问题, 因此最自然的想法就是用测度来衡量集合之间的距离.

基于这个想法, 我们将Riemann积分性质的第三条(绝对连续性)改写一下. 首先, F(x)现在应当理解为一个集合函数:

F([a,x])=\int_{[a,x]}f, \\

或者我们说集合函数F的定义为

F(E)=\int_Ef. \\

然后将区间[x_1,x_2]记作E, 于是|x_2-x_1|\lt\delta就是说\mu(E)\lt\delta, 而|F(x_1)-F(x_2)|\lt\varepsilon也可以对应改写如下:

\begin{aligned}{} |F(x_1)-F(x_2)|&=\bigg|\int_{a}^{x_1}f(x)\mathrm{d} x-\int_{a}^{x_2}f(x)\mathrm{d} x\bigg|\\ &=\bigg|\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d} x\bigg|\\ &=\bigg|\int_{[x_1,x_2]}f\bigg|=\bigg|\int_Ef\bigg|\\ &=|F(E)|\lt\varepsilon. \end{aligned} \\

由此, 我们就抽象出集合函数的一种连续性:

现在我们来考察\mu_f的一些性质.

根据我们之前的研究, \mu_f是一个符号测度, 并且如果f\geq 0\,\,\mathrm{a.e.}, 则\mu_f就是一个测度. 不仅如此, 根据积分的定义, 我们知道如果f\geq0\,\,\mathrm{a.e.}, 则\mu_f实际上是一个有限测度(因为\mu_f(X)\lt+\infty). 然而, 我们并不能断定对于一般的可积函数f, \mu_f也是有限测度, 这是因为符号测度是有限测度的充要条件是|\mu|=\mu^++\mu^-有限, 其中\mu^{\pm}是\mu的Jordan分解. 这个条件看起来是比较强的, 我们没法不经研究直接断定\mu_f为有限符号测度.

因此现在让我们来考察\mu_f的Jordan分解. 因为\mu_f依赖于f, 我们自然期望\mu_f相关的表示都可以用f相关的表示实现. 为了得到Jordan分解, 我们首先需要给出全空间X的Hahn分解.

显然, 我们可以取

P=\left\{f\geq 0\right\},N=\left\{f\lt 0\right\}, \\

这样一来, 我们就有P\cap N=\varnothing且P\cup N=X. 接下来我们只需要验证P\geq 0且N\leq 0即可. 由于f是可积的, 它自然可测, 因此P,N就是可测集. 现在, 假定E\subseteq P, 则我们就有

\begin{aligned}{} \mu_f(E)&=\int_Ef=\int 1_Ef\geq 0, \end{aligned} \\

这是因为在E上f\geq 0从而1_Ef\geq 0, 于是P\geq0. 类似地, 对于F\subseteq N, 在F上就有f\lt 0, 从而1_{E}(-f)\gt 0, 这就给出

\mu_{-f}(F)=\int_F(-f)=\int1_E(-f)\geq 0, \\

而\mu_{-f}(F)=-\mu_f(F), 于是\mu_f(F)\leq 0, 因而N\leq 0. 现在我们就可以断言说P,N构成了X的一个Hahn分解.

给出Hahn分解之后我们自然就可以得到\mu_f的正部和负部了:

\begin{aligned}{} \mu_f^+(E)&=\mu_f(E\cap P)=\int_{E\cap P}f;\\ \mu_f^-(E)&=-\mu_f(E\cap N)=-\int_{E\cap N}f. \end{aligned} \\

而根据积分的定义我们知道\mu_f^{\pm}作为积分都是有限的, 进而|\mu_f|=\mu_f^++\mu_f^-有限, 换言之**\mu_f对于任意可积函数都是一个有限符号测度**.

考虑到\mu_f是一个实值函数, 我们自然可以考察其是否绝对连续. 为此, 我们就需要得到|\mu_f(E)|的估计. 首先,

|\mu_f(E)|=\bigg|\int_Ef\bigg|\leq\int_E|f|, \\

因此我们希望如果\mu(E)\lt\delta, 则\int_E|f|\lt\varepsilon, 因为这样\mu_f就是绝对连续的了. 回忆积分的性质, 我们知道如果|f|\leq M, 则\int_E|f|\leq M\mu(E), 因此我们可以尝试去找|f|的上界. 可惜, 一般的f不是有界函数, 但是幸运的是所有的简单函数都是有界函数而且每个可积函数都可以用简单函数进行逼近, 因此我们可以另辟蹊径.

现在假设\{f_n\}为可积简单函数的依均值Cauchy列且f_n\xrightarrow{\mu} f, 则2.8节的内容指出此时有f_n\xrightarrow{L^1}f, 于是n充分大后就有

\int|f_n-f|\lt\frac{\varepsilon}{2}. \\

我们选定满足上式的n中的某个, 并假定此时|f_n|\leq M, 其中M为一个常数, 于是\int_E|f_n|\leq M\mu(E)\leq M\delta. 一旦M\delta\lt\varepsilon/2, 则我们就有

\begin{aligned}{} |\mu_f(E)|&\leq\int_E|f|\\ &\leq\int_E|f-f_n|+\int_E|f_n|\\ &\leq\int|f-f_n|+\int_E|f_n|\\ &\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \end{aligned} \\

因此对于任意的\varepsilon\gt 0, 我们可以找到\delta\gt 0(只要让\delta\lt\varepsilon/(2M)即可)使得\mu(E)\lt\delta时|\mu_f(E)|\lt\varepsilon.

我们将上面的分析总结为下述定理:

接下来我们从其它方向上分析\mu_f的连续性.

首先, 我们知道如果一个函数f(x)在(a,b)上连续, 则对于任意的收敛序列\{x_n\}\subseteq(a,b), 如果\lim_{n\to\infty}x_n\in(a,b), 则有

\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\big(\lim_{n\to\infty}x_n\big), \\

也就是说连续性保证了函数在序列上的作用与极限在序列上的作用可以交换, 我们现在来看看\mu_f在这种意义下是不是连续的. 毕竟我们知道如果取Lebesgue测度, 并取连续函数f, 则\mu_f就是前文提到的F(x), 而它是连续的.

注意到\mu_f=\mu_f^+-\mu_f^-且\mu_f^{\pm}在前文中已经得知其有限, 如果E_n,E\in\mathfrak{a}满足

\lim_{n\to\infty}E_n=E, \\

则由测度的连续性我们就有

\lim_{n\to\infty}\mu_f^{\pm}(E_n)=\mu_f^{\pm}(E), \\

既然\mu_f^{\pm}有限, 我们接下来自然就有差的极限为极限的差, 即

\begin{aligned}{} \lim_{n\to\infty}\mu_f(E_n)&=\lim_{n\to\infty}(\mu_f^+(E_n)-\mu_f^-(E_n))\\ &=\mu_f^+(E)-\mu_f^-(E)\\ &=\mu_f(E). \end{aligned} \\

换言之, \mu_f作为一个符号测度也具有测度的那种连续性.

接下来我们考察连续性的传统定义, 即如果f连续, 则自变量的增量h\to0时其对应的函数值的增量|f(x+h)-f(x)|\to0. 我们来看看\mu_f在这个意义下是否是连续的. 我们将自变量的增量h理解为两个区间[a,x]和[a,x+h]的测度之差:

\begin{aligned}{} h&=m([a,x+h])-m([a,x])\\ &=m([x,x+h]), \end{aligned} \\

方便起见, 这里我们假定了h\gt 0(这个假定实际上无关紧要). 我们将[x,x+h]理解为一个集合列E_h, h\to0就是在说m(E_h)\to 0. 我们现在将其推广为\mu(E_n)\to 0, 而讨论绝对连续性的时候我们已经看到对于\mu_f而言, 函数值的增量实际就是|\mu_f(E_n)|, 于是传统的连续性在这里就表述为\mu(E_n)\to 0的时候|\mu_f(E_n)|\to 0.

现在我们开始具体进行分析. 设E_n\in\mathfrak{a}且满足\mu(E_n)\to0, 因为\mu_f\ll\mu, 我们知道对于任意的\varepsilon\gt 0, 存在\delta\gt 0使得|\mu(E)|\lt\delta时就有|\mu_f(E)|\lt\varepsilon. 而\mu(E_n)\to 0就是在说对于任意的\delta\gt 0, 存在N使得n\geq N时有\mu(E_n)\lt\delta, 于是对于n\geq N我们就有|\mu_f(E_n)|\lt\varepsilon, 这正是在说|\mu_f(E_n)|\to0, 它也等价于说\mu_f(E_n)\to0.

我们将上面分析的两条连续性总结如下:

定理2.51的第一条是在说\mu_f作为测度有连续性, 第二条则说其作为集合函数有连续性. 另外从证明过程中即可发现, 绝对连续是一条很强的性质, 普通的连续性可以有绝对连续性推出.

我们知道Riemann积分中函数f(x)的不定积分F(x)满足F'(x)=f(x), 并且我们有Newton-Leibniz公式:

\int_a^bf(x)\mathrm{d} x=F(b)-F(a). \\

我们自然希望知道是不是对于关于测度的积分我们也有类似的结论成立? 然而回答这个问题并不容易, 在正式讨论这一问题之前, 我们需要做相当多的准备工作, 包括有界变差函数、三大积分收敛定理、单调函数以及Radon-Nikodym导数. 本节我们就来处理这些准备工作中的第一个, 介绍有界变差函数.

设\gamma:[a,b]\to\mathbb R^n为一条曲线, 一个经典的问题就是去计算这条曲线的长度. 在几何上, 我们实际上只知道如何计算线段的长度: 令P,Q为\mathbb R^n中的两个点, 则线段PQ的长度l_{PQ}就是这两个点之间的距离d(P,Q):

l_{PQ}=d(P,Q). \\

如果P和Q的坐标分别为(x_1,\dots,x_n)和(y_1,\dots,y_n), 则

d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}. \\

因为我们只知道如何计算线段的长度, 因此在计算曲线长度的时候最自然的想法就是用线段来逼近曲线, 如下图所示:

我们可以在曲线\gamma上取n个点\{P_i,1\leq i\leq n\}, 然后用

\begin{aligned}{} \tilde l(\gamma)=\sum_{i=1}^{n-1}d(P_{i},P_{i+1}) \end{aligned} \\

来近似曲线的长度. 显然, 两个相邻的点之间的弧的集合构成了曲线\gamma的一个划分(当然, 这些弧只含一个端点, 另一个端点归另一段弧, 最后的那段弧除外, 它的两个端点都归自己). 注意到\gamma上的点的集合和区间[a,b]之间存在一一对应(最简单的做法就是采用弧长参数), 我们可以写P_i=\gamma(t_i). 因此, \gamma的划分也可以表述为[a,b]的划分. 现在假定\gamma的划分对应的[a,b]的划分为

\mathcal P:a=t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_n=b, \\

针对这个划分, 我们得到的曲线长度的估计为

\tilde l(\gamma;\mathcal P)=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1})), \\

其中n_{\mathcal P}为划分\mathcal P中分点的个数. 如我们所见, 上述对\gamma长度的估计依赖于划分\mathcal P. 而由三角不等式

d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B) \\

可知, 如果n_{\mathcal P}\lt n_{\mathcal P'}, 则\tilde l(\gamma;\mathcal P')或许会比\tilde l(\gamma;\mathcal P)大. 然而, 如果\gamma的长度确实存在的话, 则我们可以相信\tilde l(\gamma;\mathcal P)存在一个上确界, 从而我们可以将\gamma的长度定义为这个上确界:

l(\gamma):=\sup_{\mathcal P}\tilde l(\gamma;\mathcal P). \\

如果一条曲线\gamma满足l(\gamma)\lt+\infty, 我们就称其为可求长曲线(rectifiable curve).

Jordan率先对可求长曲线应该满足的条件进行了研究, 并提出了我们这节所要分析的有界变差函数的概念. 我们首先给出函数变差的定义, 事实上, 函数的变差就是我们上面定义的\tilde l(\gamma;\mathcal P).

这里我们仅仅定义了区间上的有界变差实值函数, 事实上, 我们可以将有界变差这个概念推广到复向量值函数f:\Omega\to\mathbb C^n, 其中\Omega\subseteq\mathbb R^m. 然而这个推广并不是那么显而易见的, 处理起来也相当困难, 对我们而言实值函数已经足够了(毕竟我们在学习实变函数论).

我们之前说过, 任何一个函数f都可以分解为其正部f^+和负部f^-, 其定义为

\begin{aligned}{} f&=f^+-f^-,\\ f^+&=\frac{|f|+f}{2},\\ f^-&=\frac{|f|-f}{2}, \end{aligned} \\

然后就有

|f|=f^++f^-. \\

因此我们可以将变差中的绝对值分解为两部分:

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(t_{i+1})-f(t_{i})|\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(t_{i+1})-f(t_{i}))^++\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(t_{i+1})-f(t_{i}))^-, \end{aligned} \\

我们将

\begin{aligned}{} P_a^b(f;\mathcal P)=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(t_{i+1})-f(t_i))^+ \end{aligned} \\

称作f在[a,b]上关于\mathcal P的正变差, 将

\begin{aligned}{} N_a^b(f;\mathcal P)=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(t_{i+1})-f(t_i))^- \end{aligned} \\

称作f在[a,b]上关于\mathcal P的负变差. 和引入全变差类似, 我们定义全正变差和全负变差如下(符号含义自明):

\begin{aligned}{} P_a^b(f)&=\sup_{\mathcal P}P_a^b(f;\mathcal P),\\ N_a^b(f)&=\sup_{\mathcal P}N_a^b(f;\mathcal P). \end{aligned} \\

因为

V_a^b(f;\mathcal P)=P_a^b(f;\mathcal P)+N_a^b(f;\mathcal P), \\

我们就有

\begin{aligned}{} T_a^b(f)&=\sup_{\mathcal P}V_a^b(f;\mathcal P)\\ &=\sup_{\mathcal P}[P_a^b(f;\mathcal P)+N_a^b(f;\mathcal P)]\\ &\leq\sup_{\mathcal P} P_a^b(f;\mathcal P)+\sup_{\mathcal P}N_a^b(f;\mathcal P)\\ &=P_a^b(f)+N_a^b(f). \end{aligned} \\

取了上确界之后原本的等号变成了不等号, 自然我们就想知道等号什么时候成立呢?

为了简化问题, 我们首先考察单调函数, 这样一来|f(x_{i+1})-f(x_i)|对每个i就有简单的形式.

如果f单调递增, 则

\begin{aligned}{} |f(x_{i+1})-f(x_i)|&=f(x_{i+1})-f(x_i),\\ (f({x_{i+1}})-f(x_i))^+&=f(x_{i+1})-f(x_i),\\ (f(x_{i+1})-f(x_i))^-&=0, \end{aligned} \\

于是

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}[f(x_{i+1})-f(x_i)]\\ &=f(x_{n_{\mathcal P}})-f(x_i)\\ &=f(b)-f(a),\\ P_a^b(f;\mathcal P)&=f(b)-f(a),\\ N_a^b(f;\mathcal P)&=0. \end{aligned} \\

由此即可推得

\begin{aligned}{} T_a^b(f)&=f(b)-f(a),\\ P_a^b(f)&=f(b)-f(a),\\ N_a^b(f)&=0,\\ T_{a}^b(f)&=P_a^b(f)+N_a^b(f). \end{aligned} \\

类似地, 我们发现如果f单调递减, 则

\begin{aligned}{} T_a^b(f)&=f(a)-f(b),\\ N_a^b(f)&=f(a)-f(b),\\ P_a^b(f)&=0,\\ T_{a}^b(f)&=P_a^b(f)+N_a^b(f). \end{aligned} \\

由此我们得到:

也就是说, 单调函数必为有界变差函数.

现在注意

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&\geq P_a^b(f;\mathcal P),\\ V_a^b(f;\mathcal P)&\geq N_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

于是

\begin{aligned}{} \sup V_a^b(f;\mathcal P)&\geq V_a^b(f;\mathcal P)\\ &\geq \sup P_a^b(f;\mathcal P). \end{aligned} \\

因此T_a^b(f)\geq P_a^b(f), 类似地就有T_a^b(f)\geq N_a^b(f), 总结一下我们就得到了第二个结论:

现在我们来测试一下哪种类型的函数可能是有界变差的. 首先, 连续函数不一定是, 因为如果我们考察函数

f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x}&, x\in(0,1]\\ 0 &,x=0 \end{cases}, \\

则容易看到

\lim_{x\to 0^+}f(x)=0=f(0), \\

于是f(x)在[0,1]上连续. 然而, 如果我们选取[0,1]的划分\mathcal P=\left\{x_i,1\leq i\leq n+1\right\}为

\begin{aligned}{} x_0&=0;\\ x_i&=\frac{1}{(n-i+1)\pi+\pi/2}, 1\leq i\leq n;\\ x_{n+1}&=1, \end{aligned} \\

则n\to\infty时就有

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&\geq\sum_{i=1}^n\bigg|x_i\sin\frac{1}{x_i}-x_{i-1}\sin\frac{1}{x_{i-1}}\bigg|\\ &\geq\frac{1}{\pi}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\to\infty. \end{aligned} \\

因此f\notin\operatorname{BV}([a,b]). 不仅如此, 我们发现|f|\leq 1, 因此f是有界函数, 这表明有界函数也未必是有界变差函数.

现在我们将条件加强一点, 我们让函数是一种条件很强的有界函数: Lipschitz连续的函数. 也就是说存在常数L使得对于任意的x_1,x_2\in[a,b], 都有

|f(x_1)-f(x_2)|\leq L|x_1-x_2|, \\

容易看到, 此时的函数f必然是有界的, 因为由上述的Lipschitz条件, 我们可以看到

\begin{aligned}{} |f(x)|&=|f(x)-f(x')+f(x')|\\ &\leq|f(x)-f(x')|+|f(x')|\\ &\leq L|x-x'|+|f(x')| \end{aligned} \\

对任意的x,x'成立, 我们选定x'为[a,b]上某个定点, 则|f(x')|有限, 而|x-x'|至多为|b-a|, 由此我们就找到了M=L(b-a)+|f(x')|使得|f(x)|\leq M. 这就是我们前面提到的有界条件加强的原因.

假定f为Lipschitz连续函数, 则

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|\\ &\leq\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}L|x_{i+1}-x_i|\\ &=L(b-a), \end{aligned} \\

因此我们看到f的全变差有限, 即其为有界变差函数.

前文提到, 有界函数未必是有界变差函数, 但是反过来呢? 设f\in\operatorname{BV}([a,b]), 然后考察划分\mathcal P:a\lt x\lt b, 则

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&=|f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|\\ &\geq|f(x)-f(a)|, \end{aligned} \\

因此和上面证明Lipschitz连续函数为有界函数的过程类似, 我们可以得到

\begin{aligned}{} |f(x)|&\leq|f(x)-f(a)|+|f(a)-0|\\ &\leq V_a^b(f;\mathcal P)+|f(a)|\\ &\leq T_a^b(f)+|f(a)|\lt+\infty. \end{aligned} \\

由此我们得到

结合命题2.53.3和命题2.53.4我们就能再次得到前文提到的Lipschitz连续函数为有界函数的结论了.

接下来我们来考察两个有界变差函数的线性组合. 假定f,g\in\operatorname{BV}([a,b]), \alpha,\beta\in\mathbb R, 则

\begin{aligned}{} V_a^b(f+g;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})+g(x_{i+1})-(f(x_{i})+g(x_i))|\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|(f(x_{i+1})-f(x_i))+(g(x_{i+1})-g(x_i))|\\ &\leq\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(|f(x_{i+1})-f(x_i)|+|g(x_{i+1})-g(x_i)|)\\ &=V_a^b(f;\mathcal P)+V_a^b(g;\mathcal P)\\ &\leq T_a^b(f)+T_a^b(g), \end{aligned} \\

由此即可得到

T_a^b(f+g)\leq T_a^b(f)+T_a^b(g), \\

换言之, 此时也有f+g\in\operatorname{BV}([a,b]). 不仅如此, 我们也很容易看到

\begin{aligned}{} V_a^b(\alpha f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|\alpha f(x_{i+1})-\alpha f(x_i)|\\ &=|\alpha|V_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

这给出

T_a^b(\alpha f)=|\alpha|T_a^b(f) \\

的结论, 从而\alpha f\in\operatorname{BV}([a,b]). 结合这两点, 我们看到

\begin{aligned}{} T_a^b(\alpha f+\beta g)&\leq T_a^b(\alpha f)+T_a^b(\beta g)\\ &=|\alpha| T_a^b(f)+|\beta|T_a^b(g), \end{aligned} \\

因此\alpha f+\beta g\in\operatorname{BV}([a,b]). 由此我们就有下述命题:

上述命题指出BV空间是线性空间, 事实上, 这是一个相当重要的线性空间, 我们后面再解释这个论述.

BV空间依赖于所选定的区间[a,b], 那么子区间上的BV空间和原本的BV空间之间有什么关系吗? 这就是我们接下来要讨论的问题.

假设[c,d]\subseteq[a,b], f\in\operatorname{BV}([a,b]), 则对于任意的划分

\mathcal P:a\lt c=x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=d\lt b, \\

我们有

\begin{aligned}{} V_c^d(f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|\\ &\leq|f(c)-f(a)|+\sum_{i=1}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|+|f(b)-f(d)|\\ &=V_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

因此

\begin{aligned}{} T_c^d(f)&= \sup V_{c}^d(f;\mathcal P)\\ &\leq V_a^b(f;\mathcal P)\\ &\leq T_a^b(f). \end{aligned} \\

这表明T_c^d(f)也是有限的, 因此f\in\operatorname{BV}([c,d]). 换言之:

事实上, 我们还可以更进一步. 设a\leq c\leq d, 则\operatorname{BV}([a,b])\subseteq\operatorname{BV}([a,c])且\operatorname{BV}([a,b])\subseteq\operatorname{BV}([c,b]). 因此, 如果f\in\operatorname{BV}([a,b]), 则对于任意的c\in(a,b), 我们都有f\in\operatorname{BV}([a,c])\cap\operatorname{BV}([c,b]). 反过来, 如果f\in\operatorname{BV}([a,c])\cap\operatorname{BV}([c,b]), 则我们现在考察划分

\mathcal P: a=x_1\lt\cdots\lt x_k\leq c\leq x_{k+1}\lt\cdots\lt x_n=b. \\

记

\begin{aligned}{} \mathcal P_1&:a=x_1\lt\cdots\lt x_k\leq c;\\ \mathcal P_2&: c\leq x_{k+1}\lt\cdots\lt x_n=b, \end{aligned} \\

则

\begin{aligned}{} V_a^b(f;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)||\\ &\leq\sum_{i=1}^{k-1}|f(x_{i+1}-f(x_i))+|f(c)-f(x_k)|\\ &+|f(x_{k+1})-f(c)|+\sum_{i=k}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|\\ &=V_{a}^c(f;\mathcal P_1)+V_c^b(f;\mathcal P_2), \end{aligned} \\

由此可知

T_a^b(f)\leq T_a^c(f)+T_c^b(f), \\

进而我们看到f\in\operatorname{BV}([a,b]). 此外, 我们可以证明其反过来也是成立的. 回忆一下, T_a^c(f)=\sup V_a^c(f;\mathcal P_1), 因此对于任意的\varepsilon\gt 0, 我们可以找到划分\mathcal P_1使得

V_a^c(f;\mathcal P_1)\geq T_a^c(f)-\frac{\varepsilon}{2}, \\

类似地可以找到划分\mathcal P_2使得

V_c^b(f;\mathcal P_2)\geq T_c^b(f)-\frac{\varepsilon}{2}. \\

注意到\mathcal P_1\cup\mathcal P_2构成了[a,b]的一个划分, 因此我们就有

\begin{aligned}{} T_a^c(f)+T_c^b(f)&\leq V_a^c(f;\mathcal P_1)+V_c^b(f;\mathcal P_2)+\varepsilon\\ &= V_a^b(f;\mathcal P_1\cup\mathcal P_2)+\varepsilon\\ &\leq T_a^b(f)+\varepsilon. \end{aligned} \\

令\varepsilon\to0即得到

T_a^b(f)\geq T_a^c(f)+T_c^b(f). \\

我们将上述的讨论归结如下:

我们看到, 命题2.53.7给出的那个关系式很像Riemann积分的性质\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b, 这并非偶然, 有界变差函数和定积分之间有着密切的关联, 这就是我们本节开头所提到的那个问题. 我们不具体讨论这一问题.

类似地, 我们也可以得到对于任意的c\in(a,b), 有

\begin{aligned}{} P_a^b(f)&=P_a^c(f)+P_c^b(f),\\ N_a^b(f)&=N_a^c(f)+N_c^b(f). \end{aligned} \\

事实上, 命题2.53.7的证明过程也可以帮助我们回答什么时候

T_a^b(f)=P_a^b(f)+N_a^b(f) \\

成立的这个问题. 回忆

T_{a}^b(f)\leq P_a^b(f)+N_a^b(f), \\

因此我们需要找到使得

T_{a}^b(f)\geq P_a^b(f)+N_a^b(f) \\

成立的函数. 这里我们需要

V_a^b(f;\mathcal P)=P_a^b(f;\mathcal P)+N_a^b(f;\mathcal P) \\

的佐助. 经过类似地论证, 我们可以假定\mathcal P使得

P_{a}^b(f;\mathcal P)+\frac{\varepsilon}{2}\geq P_a^b(f) \\

和

N_a^b(f;\mathcal P)+\frac{\varepsilon}{2}\geq N_a^b(f) \\

同时成立(这总是可以的, 因为我们可以让\mathcal P_1和\mathcal P_2使得这两个不等式分别成立, 然后考察\mathcal P=\mathcal P_1\cup\mathcal P_2), 然后就有

\begin{aligned}{} T_a^b(f)+\varepsilon&\geq V_a^b(f;\mathcal P)+\varepsilon\\ &= N_a^b(f;\mathcal P)+\frac{\varepsilon}{2} +P_a^b(f;\mathcal P)+\frac{\varepsilon}{2}\\ &\geq P_a^b(f)+N_a^b(f), \end{aligned} \\

接下来取\varepsilon\to0就能得到

T_a^b(f)\geq P_a^b(f)+N_a^b(f). \\

在上面的分析过程中我们没有对f添加任何额外的要求, 因此全变差为全正变差和全负变差之和的结论总是成立的.

我们看到如果f\in\operatorname{BV}([a,b]), 根据命题2.53.7, 若定义函数

T_f(x):=T_a^x(f),\quad x\in[a,b], \\

则x_1\geq x_2时就有

\begin{aligned}{} T_f(x_1)&=T_a^{x_1}(f)\\ &=T_a^{x_2}(f)+T_{x_2}^{x_1}(f)\\ &\geq T_{a}^{x_2}(f)=T_f(x_2), \end{aligned} \\

这意味着T_f(x)是单调递增函数. 类似地我们可以定义N_f(x):=N_a^x(f)和P_f(x):=P_a^x(f), 这两个函数也是单调递增函数.

由此, 我们就将全变差函数和单调函数关联起来了.

回忆前面提到的

T_a^b(f)\geq V_{a}^b(f;\mathcal P)\geq 0,\quad \forall \mathcal P, \\

于是如果T_a^b(f)=0, 则我们就有

V_a^b(f;\mathcal P)=0,\quad \forall\mathcal P, \\

进而推得

|f(x_{i+1})-f(x_i)|=0,\quad \forall \mathcal P, \\

换言之, 我们就有

f(x_{i})=f(x_{i+1}),\quad\forall\mathcal P. \\

由此我们看到f只能是常值函数, 假定不然, 我们就可以找到两个点x,y\in[a,b]使得x\lt y且f(x)\neq f(y), 然后按照上面的分析, 划分a\leq x\lt y\leq b就得出f(x)=f(y), 这就矛盾了! 反过来, 如果f是常值函数, 则必然就有T_a^b(f)=0, 因此

现在我们回到命题2.53.5上, 根据这个命题, BV空间就是一个线性空间, 而且它满足T_{a}^b(f)\geq 0, T_a^b(\alpha f)=|\alpha|T_a^b(f)以及三角不等式T_{a}^b(f+g)\leq T_a^b(f)+T_a^b(g), 这已经很像是一个范数了, 但是缺少T_a^b(f)=0的充要条件为f=0这一条. 毕竟根据命题2.53.10, 我们看到如果f为常值函数, 则f\in\operatorname{BV}([a,b]), 而此时T_a^b(f)=0. 这和我们之前分析的L^p空间类似, 为了得到一个赋范线性空间, 我们只需引入某个等价关系即可. 容易看到, 我们需要的这个等价关系\sim为

f\sim g\iff f=g+C, \\

其中C为常数. 我们接下来考察BV空间中f的等价类

\bar f=\left\{g\in\operatorname{BV}([a,b])\mid g\sim f\right\}, \\

然后定义

\|\bar f\|_{{\mathrm{BV}}}:=T_a^b(f),\forall\bar f\in \operatorname{BV}([a,b])/\sim. \\

和之前一样, 我们需要保证这个定义是良定的, 而这也很容易验证:

\begin{aligned}{} V_{a}^b(f+C;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})+C-(f(x_i)+C)|\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|\\ &=V_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

两边取上确界即可得到T_a^b(f+C)=T_a^b(f), 因此\|\bar f\|_{{\mathrm{BV}}}的结果与代表元无关. 于是现在我们可以说

尽管只有\operatorname{BV}([a,b])/\sim是赋范线性空间, 我们还是采用一种混淆符号的做法, 对于f\in\operatorname{BV}([a,b]), 我们记\|f\|_{{\mathrm{BV}}}=\|\bar f\|_{{\mathrm{BV}}}. 和L^p空间一样, 在平常的叙述中我们不区分BV空间和它关于\sim的商空间, 而是同一称其为BV空间. BV空间是另一个重要的赋范线性空间, 不过我们不会在这个系列中学习该空间的特殊性质.

至此, 我们已经看到两种“离赋范线性空间只差一步”的例子了, 它们都是只欠缺了\|f\|=0\iff f=0这条性质, 我们将满足赋范线性空间其它条件, 而单单不满足前面提到的这条性质的空间称作准赋范线性空间, 因为只需要合适定义等价关系, 我们就可以将对应的商空间变成赋范线性空间.

我们知道每个函数都可以分解为f=f^+-f^-, 前面我们只考虑了f^++f^-=|f|的特性, 那f^+-f^-又会是怎么样的呢? 注意到

\begin{aligned}{} f(b)-f(a)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(x_{i+1})-f(x_i))\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}[(f(x_{i+1})-f(x_i))^+-(f(x_{i+1})-f(x_i))^-]\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(x_{i+1})-f(x_i))^+\\ &-\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}(f(x_{i+1})-f(x_i))^-\\ &=P_a^b(f;\mathcal P)-N_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

因此我们就有

f(b)+N_a^b(f;\mathcal P)=f(a)+P_a^b(f;\mathcal P), \\

如果我们能够证明对于任意的常数C和函数F(x)都有

\sup(C+F(x))=\sup F(x)+C, \\

则我们由前面的式子两边取上确界就能得到

f(b)+N_a^b(f)=f(a)+P_a^b(f) \\

了.

考虑到

\sup(f+g)\leq\sup f+\sup g \\

恒成立, 因此我们只需证明

\sup(C+F(x))\geq C+\sup F(x). \\

证明的思路和之前一样, 都是使用确界的定义: 对于任意的\varepsilon\gt 0, 我们可以找到x使得

\begin{aligned}{} \sup F(x)\leq F(x)+\varepsilon, \end{aligned} \\

因此

\begin{aligned}{} C+\sup F(x)&\leq C+F(x)+\varepsilon\\ &\leq\sup(C+F(x))+\varepsilon, \end{aligned} \\

接下来令\varepsilon\to0就得到了我们想要的结果.

整理一下语言, 我们就有下述结论:

值得注意的是在f不是有界变差函数的时候上面作差的那个表达式就未必成立了, 毕竟此时全正变差或者全负变差有可能为无穷.

根据命题2.53.8、命题2.53.9以及命题2.53.12, 我们看到对于任意的函数f\in\operatorname{BV}([a,b]), 我们就有

\begin{aligned}{} T_f(x)&=P_f(x)+N_f(x),\\ P_f(x)-N_f(x)&=f(x)-f(a). \end{aligned} \\

另一方面, 方程组

\begin{aligned}{} T_f(x)&=p(x)+n(x)\\ p(x)-n(x)&=f(x)-f(a) \end{aligned} \\

的解(p(x),n(x))是唯一的, 如果将其写成矩阵形式:

\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p(x)\\ n(x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} T_f(x)\\ f(x)-f(a) \end{bmatrix}, \\

则系数矩阵可逆, 因此有唯一解. 比较上面的两组等式, 我们看到这组唯一解其实就是(P_f(x),N_f(x)), 于是我们就有下述定理:

在已知T_f(x)的情况下, 我们就可以直接通过求解上述方程组来得到P_f(x)和N_f(x)了, 正是因为这个原因, 一些教科书中将f的全正变差和全负变差定义为上述方程组的解, 即定义

\begin{aligned}{} P_a^b(f)&:=\frac{1}{2}(T_a^b(f)+f(b)-f(a)),\\ N_a^b(f)&:=\frac{1}{2}(T_a^b(f)-f(b)+f(a)). \end{aligned} \\

相较于我们这里的引入方式, 上述方式就有点生硬了.

考虑到p(x)和n(x)是唯一的, 我们通常就将其称作f的正则分解, 并且在这种情况下, 我们有

f(x)=p(x)+f(a)-n(x). \\

注意p(x)和n(x)都是单调递增的函数, 因此我们实际上将有界变差函数f分解成了两个单调递增函数p(x)+f(a)和n(x)的差, 这个分解方式是相当重要的. 反过来, 如果一个函数f可以分解为两个单调递增函数g和h的差, 即f=g-h, 则根据命题2.53.1我们知道g,h\in\operatorname{BV}([a,b]), 进而由命题2.53.5我们知道g-h=f\in\operatorname{BV}([a,b]). 也就是说, 我们有下面的重要结论:

这个定理揭示了单调函数在研究全变差函数时的作用, 不过我们暂且按下不表. 回忆之前我们已经证明了连续函数未必是有界变差函数, 因此我们就想知道什么时候这个问题的回答是肯定的呢? 我们已经知道Lipschitz连续的函数是有界变差函数了, 那么还有其它的连续性可以保证这一点吗?

我们上一节介绍了绝对连续的概念, 不妨就来考察一下绝对连续的函数呗. 我们现在来考察关于Lebesgue测度m绝对连续的函数f:[a,b]\to\mathbb R. 根据定义, 对于任意的\varepsilon\gt 0, 存在\delta\gt 0使得任意满足m(E)\lt\delta的可测集E\subseteq[a,b]都有|f(E)|\lt\varepsilon. 然而这里的函数f不是集合函数, 因此f(E)是没有意义的. 为此, 对于实变量函数我们要对绝对连续做一个修正:

容易看到这里的b_i-a_i其实就是E_i=(a_i,b_i)的Lebesgue测度, 而\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)就是\bigcup_{i=1}^nE_i的Lebesgue测度. 如果我们定义

f\bigg(\bigcup_{i=1}^nE_i\bigg)=\sum_{i=1}^n(f(b_i)-f(a_i)), \\

则

\bigg|f\bigg(\bigcup_{i=1}^nE_i\bigg)\bigg|\leq\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|\lt\varepsilon, \\

这样就有f\ll m, 于是我们就回归到之前的定义上来了. 是故, 我们称之前的定义为一般的定义, 而这里为一般定义的特殊化.

现在, 假定f\in\operatorname{AC}([a,b]), 则对于给定的\varepsilon\gt 0, 我们可以找到\delta\gt 0使得对于满足\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)\lt\delta的不相交开区间(a_i,b_i)我们有\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|\lt\varepsilon. 我们接下来置

N=\bigg[\frac{b-a}{\delta}\bigg]+1, \\

这里[x]为Gauss取整函数, 然后将[a,b]均分为N段:

a=x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_{N}\lt x_{N+1}=b. \\

这样对于每一段(x_i,x_{i+1})我们都有x_{i+1}-x_i\lt\delta. 接下来我们考察子区间[x_i,x_{i+1}]以及其划分

\mathcal P:x_i=x_{i,1}\lt\cdots\lt x_{i,m}=x_{i+1}, \\

则

\sum_{j=1}^{m-1}(x_{i,{j+1}}-x_{i,j})=x_{i+1}-x_i\lt\delta, \\

进而

\begin{aligned}{} V_{x_i}^{x_{i+1}}(f;\mathcal P)&=\sum_{j=1}^{m-1}|f(x_{i,j+1})-f(x_{i,j})|\lt\varepsilon, \end{aligned} \\

由此可知

V_{x_i}^{x_{i+1}}(f)\leq\varepsilon, \\

最后根据命题2.53.7我们就有

\begin{aligned}{} V_a^b(f)&=\sum_{i=1}^{N}V_{x_i}^{x_{i+1}}(f)\\ &\leq N\varepsilon\lt+\infty. \end{aligned} \\

换言之, 我们就有下述结论成立:

事实上, 命题2.53.3不过是命题2.57的推论罢了, 因为如果f是Lipschitz连续的, 则对于任意的x,y\in[a,b], 我们就有

|f(x)-f(y)|\lt M |x-y|, \\

于是

\begin{aligned}{} \sum_{i=1}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|&\lt M\sum_{i=1}^{n-1}|x_{i+1}-x_i|\\ &\lt M\delta, \end{aligned} \\

我们只要选取M\delta\lt\varepsilon, 即\delta\lt\varepsilon/M即可保证一旦

\sum_{i=1}^{n-1}|x_{i+1}-x_i|\lt\delta, \\

立刻就有

\sum_{i=1}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|\lt\varepsilon \\

对任意的不相交开区间(x_i,x_{i+1})成立. 于是f\in\operatorname{AC}([a,b]), 进而f\in\operatorname{BV}([a,b]).

根据上述分析, 我们看到Lipschitz连续性要强于绝对连续性, 而绝对连续性又强于一致连续性, 后者又强于一般的连续性.

我们已经提到了\operatorname{BV}([a,b])上的线性运算, 那么其余的运算呢? 比方说|f|, fg以及f/g?

注意到

||a|-|b||\leq|a-b|, \\

我们就有

\begin{aligned}{} V_a^b(|f|;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1} ||f(x_{i+1})|-|f(x_i)||\\ &\leq\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\\ &=V_a^b(f;\mathcal P)\leq T_a^b(f;\mathcal P), \end{aligned} \\

因此

T_a^b(|f|)\leq T_a^b(f), \\

这表明一旦f\in\operatorname{BV}([a,b]), 则对应就有|f|\in\operatorname{BV}([a,b]). 但我们需要注意这个命题反过来是不成立的.

接下来我们假设f,g\in\operatorname{BV}([a,b]), 则根据命题2.53.4我们知道存在常数M_f和M_g使得

|f|\leq M_f,|g|\leq M_g, \\

然后我们就有

\begin{aligned}{} V_a^b(fg;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})g(x_{i+1})-f(x_i)g(x_i)|\\ &=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})g(x_{i+1})-f(x_i)g(x_{i+1})\\ &\quad\quad +f(x_i)g(x_{i+1})-f(x_i)g(x_i)|\\ &\leq\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)||g(x_{i+1})|\\ &+\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}|f(x_i)||g(x_{i+1})-g(x_i)|\\ &\leq V_a^b(f;\mathcal P)M_g+M_fV_a^b(g;\mathcal P)\\ &\leq T_a^b(f)M_g+M_fT_a^b(g), \end{aligned} \\

两边取上确界即可得到

T_a^b(fg)\leq T_a^b(f)M_g+M_fT_a^b(g), \\

从而fg\in\operatorname{BV}([a,b]).

然而, 我们并不能讨论一般的满足g\neq 0的函数g的倒数1/g的情况, 进而f/g也就不好讨论了. 这是因为

\bigg|\frac{1}{g_2}-\frac{1}{g_1}\bigg|=\frac{|g_2-g_1|}{|g_1||g_2|} \\

可能未必会小于|g_2-g_1|, 这样不等号方向就保证不了. 为此, 我们需要添加一些额外的条件来确保能够做到这一点, 这里我们只考虑两种特殊情况:

(1) 如果|g|\geq\sigma\gt0, 其中\sigma为某个常数, 则

\begin{aligned}{} V_a^b(1/g;\mathcal P)&=\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}\frac{|g(x_{i+1})-g(x_i)|}{|g(x_{i+1})g(x_i)|}\\ &\leq\sum_{i=1}^{n_{\mathcal P}-1}\frac{|g(x_{i+1})-g(x_i)|}{\sigma^2}\\ &=\frac{V_a^b(g;\mathcal P)}{\sigma^2}\leq\frac{T_a^b(g)}{\sigma^2}, \end{aligned} \\

于是

T_a^b(1/g)\leq\frac{T_a^b(g)}{\sigma^2}, \\

进而1/g\in\operatorname{BV}([a,b]).

(2) 如果g在[a,b]上连续, 则g\neq 0意味着要么[a,b]上g恒为正, 要么恒为负, 否则我们就可以找到[x_1,x_2]\subseteq[a,b]使得g(x_1)g(x_2)\lt 0, 于是零点定理保证了必然存在c\in[x_1,x_2]使得g(c)=0, 这就与g\neq 0矛盾了! 因为连续函数在闭区间上可以取到最大值和最小值, 因此我们知道g\gt 0时存在正数m_+,M_+使得m_+\leq g\leq M_+; g\lt 0时存在负数m_-,M_-使得m_-\leq g\leq M_-. 无论是何种情况, 我们都有g=\min\{|m_{\pm},|M_{\pm}|\}使得|g|\geq\sigma, 从而我们就回到了第一种情况.

我们现在可以将上面的讨论汇总如下:

至此, 有界变差函数的基本性质我们就分析完了.